提到量子力学，对物理比较熟悉的读者应该不会陌生。如果说牛顿力学指导我们理解宏观世界，那么量子力学就是我们理解微观世界的利器。不管是原子、分子，还是光子、声子，描述它们的性质和相互作用都需要用到量子力学。可以说现代半导体工业推动的数字化革命就是以量子力学为最根本的理论基石。

而量子力学本身也是建立在几个非常重要的基石上。其中之一就是哈密顿量的厄米性（也作厄密性）。宏观尺度上的能量在量子世界中对应的是系统的哈密顿量，而能量守恒定律在量子力学中的一个表述就是哈密顿量的厄米性。一个教科书中常见的，与厄米性相关的例子是核外电子的辐射问题。如果用经典力学来描述，电子绕原子核的周期性运动必然会带来电磁辐射，其结果就是电子逐渐损失其能量并向原子核靠拢，最后两者碰撞造成原子不稳定。但如果用量子力学来描述，系统哈密顿量的厄米性则保证了核外电子分布可以形成稳态，而最内层的电子在没有外界激发的情况下只有极小的可能性会量子隧穿到外界。因此在量子世界上构建的宏观世界也是极为稳定的。

正是因为这样一些非常基本的原因，大多数的物理工作者对所谓的非厄米物理都持有怀疑态度。笔者在国外某著名高校参加学术活动的时候曾和一位较年长的同行提到非厄米物理，结果对方直接说道：“It must be a WRONG theory!” 。但是这很明显是个误区。为什么呢？因为微观世界实在是太复杂了，就在一个空的可乐瓶里就能容纳超过10 23 个分子。各种理论多多少少都会用到一些近似，而一大类非厄米理论及系统就是一个常用近似的结果。

这个近似就是把整个物理系统分成两个相对独立的部分，而且假定它们之间能量交换的速率是一个确定的常数。在光学甚至电路理论中，我们对这种处理习以为常。光学微腔(Special Issue on Optical Microcavities in Photonics Research )或是振荡器都有自己的品质因数，其描述的正是它们本身（我们称之为“系统”）和外界之间能量传输的速率。因为在大多数情况下外界对系统的影响都相对简单，所以我们在进行理论描述的时候只需要考虑系统本身。这样的话系统中的能量显然是不守恒的，因而描述它的理论也必然是非厄米的。从这个角度来说，人们对非厄米系统的研究可以溯源到十九世纪中叶甚至更早。

然而今天我们要着重提到的非厄米理论来源于一个不同的，甚至可以说是疯狂的假设。1997年圣路易斯华盛顿大学物理系的Carl Bender教授提出了一个以宇称-时间对称（PT-symmetry）为基础的非常规量子理论。其核心假设是如果我们只要求能量守恒，那么哈密顿量的厄米性并不是唯一的选择。具体的来说，如果哈密顿量和任意一个反线性算符对易，那么系统的能量就可以是守恒的。这里宇称算符和时间反演算符共同作用的结果就就是一个例子，前提是宇称-时间对称性没有自发破缺。

读者们对宇称可能已有所了解。李政道先生和杨振宁先生正是因为提出了弱相互作用中的宇称破缺而在1957年获得了诺贝尔物理学奖。通常我们把镜面对称称之为宇称，虽然在粒子物理里我们需要将三个坐标分量同时反转。而自发破缺也很好理解，它代表了系统中的稳态波函数并没有哈密顿量本身的对称性。举个不太恰当的例子：如果两匹棕色的马生下了一个斑马幼崽，那么色彩均匀分布的这个对称性就自发破缺了。

图1：一些具有宇称-时间对称性的光子学系统

在宇称-时间对称的量子理论发布后，物理学界普遍认为其只是一个有趣的观点，但它并不能对传统量子理论提出挑战。即便如此，这个理论中有一个非常有趣的现象仍然引起了大家的关注。简单的来讲，厄米系统中的简并态只是代表它们能量的简并，而非厄米系统中的简并态则还可以同时拥有相同的波函数。这样的简并态发生的点被称为异点（exceptional point）。通常一个异点需要通过调节两个或者更多的参数才能实现，而在宇称-时间对称的系统里我们只需要连续改变一个参数就可以达到这个目的。更有意思的是，宇称-时间对称性的自发破缺正好对应了这个异点 [目前唯一的例外可见笔者发表的论文[ Phys. Rev. A , 94, 013837 (2016) ]，而且能量在这个异点之后也变成了成对出现的复数，分别对应了能量增长和衰减的态。

为了观察这个现象，中佛罗里达大学大学的Demetrious Christodoulides教授在2007年提出了用光学系统来构建一个宇称-时间对称的系统。之前提到的很多光学系统本来就可以被认为是非厄米的，而这个提议的妙处在于两点：其一是利用了光学中的傍轴方程与量子力学中的薛定谔方程方程同样的数学形式；其二是用配对的光学增益和损耗器件来满足宇称-时间对称的要求。在这个提议的基础上，很多光子学实验（见图1）都成功验证了Bender教授最初的预测，而Bender教授本人也和实验的合作者一道利用两个耦合的协振子在经典力学中实现了一个宇称-时间对称的系统。

图2：具有宇称-时间对称性的光纤环形激光和扇形激光

鉴于各国都加大了对宇称-时间对称系统研究的力度，光子学领域重要期刊Photonics Research适时推出了Non-Hermitian Photonics in Complex Media: PT-symmetry and beyond 专题 ，由美国北卡罗莱纳大学的Greg Gbur教授和希腊克里特大学的Konstantinos Makris教授负责组稿。其中收录的文章包括了许多新的研究方向，例如克里特大学和中佛罗里达大学主持的课题讨论了光学物质的色散对宇称-时间对称性破缺的影响；澳大利亚国立大学和悉尼大学发表的文章研究了非线性波导中的宇称-时间对称性对成对产生的量子纠缠态的影响；香港科技大学孙贤开教授的团队设计了具有径向宇称-时间对称性的光学微腔激光器。笔者也应邀发表了一篇关于非厄米扁平能带（flatband）的文章，其中用到了一种新的非厄米对称性，即电子-空穴（particle-hole）对称性。有意思的是由于非厄米性，一个玻色子（光子）系统居然实现了一个费米子（电子及空穴）系统的对称性。同时电子-空穴对称性也保证了和马约拉纳零能模（Mojarana zero mode）类似的非厄米零能模的存在，为在非厄米系统中研究拓扑边界态提供了保障。

国内的不少科研机构也在非厄米系统框架下做出了很多杰出的成绩，其中包括笔者比较熟悉的南京大学的肖敏教授、姜校顺教授和刘明辉教授，北京大学的肖云峰教授和马仁敏教授，上海交通大学的万文杰教授，以及哈尔滨工业大学（深圳）的宋清海教授和肖淑敏教授。我们希望有更多科技工作者加入到对非厄米系统的研究中来，把一个天方夜谭般的领域发展成一个优势学科。

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