单色光的基本极化奇点通常与坐标系旋转下的不变性有关，对称旋转电磁场 和空间相关的角度θ，偏振将会旋转γθ。这些对称性是由混合角动量以Jγ=L+γS的形式产生，它们通常导致莫比乌斯带拓扑结构产生，其协调参数γ仅限于整数值和半整数值。巴塞罗那理工学院的科学家利用反旋转圆极化光束在不同频率下的“双环”叠加的高内对称性，构造了任意有理γ在坐标旋转下不变的光束。结果证明这些光束具有环形结的拓扑结构，它反映了环形结角动量jγ产生的子群，使用三阶和高阶场矩张量来表征所产生的光学偏振奇异性，并且使用非线性偏振断层扫描技术进行实验观察。

坐标旋转不变性与环面结梁拓扑。a，RCP光束（红色）与其LCP二次谐波（绿色）的叠加产生三叶形极化Lissajous图（蓝色）。b，三叶的方向取决于两个组分之间的相对相位，它可以通过在两个分量中加入不同的轨道角动量m1和m2来改变方位角θ。c，d为了研究这个领域的拓扑结构，展示了极化和方位角的关系（c），然后扭转产生的圆柱体，以在θ=0和2π（d）处重新连接平面。e如果我只保留三叶叶尖的路径（在C-E中颜色仅用于视觉清晰度），得到嵌入在圆环上的打结曲线，在这种情况下（−2，3）圆环结。f，这个环面结可以看作是方位角θ和θ的平面环面[0，2π）×[0，2π]上的波瓣路径。

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